El límite clásico de la función de onda cuántica

Una forma de entender que la función de onda de la Mecánica Cuántica no tiene un límite clásico es tomar ħ igual a 0 de forma naive en la ecuación de Schrödinger. De inmediato se observa una contradicción dado que el término cinético desaparece frente al potencial. Esto implica que la función de onda no tiene una expansión en potencias de ħ alrededor de una función clásica.

Para ser un poco más concretos, tomemos la ecuación de Schrödinger para el caso de los estados estacionarios de una partícula un potencial V(x). La ecuación de Schrödinger se reduce a H ψ = E ψ, donde el Hamiltoniano H=H_0+H_i tiene dos términos: uno describe la energía cinética de la partícula H_0=-ħ^2/(2m) d^2/dx^2 y otro su interacción con el potencial H_i=V(x). De forma naive parece que tomar ħ=0 equivale a suprimir el término cinético. De ahí se deduce que V(x) ψ = E ψ, es decir, V(x)=E lo cuál es imposible puesto que cualquier potencial que dependa de x no es igual a una constante E.

La forma correcta de tomar un límite semi-clásico de la función de onda es lo que recibe el nombre de aproximación WKB. La idea central es comprender que la función de onda presenta una singularidad esencial cuando ħ tiende a 0. Es decir, ψ(x)~A(x) e^(i B(x)/ ħ), donde A(x) y B(x) sí tienen expansiones en ħ alrededor de valores clásicos. Pero la singularidad en la exponencial hace imposible tomar un límite naive. Esta aproximación permite de forma sencilla permite estimar fenómenos tan sutiles como el efecto túnel.

La obstrucción a tener un límite clásico para la función de onda implica que no existe una descripción clásica de la información de un sistema equivalente al paradigma cuántico. Si eso fuera así, tendríamos una mecánica cuántica-clásica, profundamente diferente de los conceptos newtonianos. Las ideas de superposición y de entrelazamiento cuánticos quedan pues consistentemente resguardadas por estos límites singulares.