La inteligilidad del universo es, para muchos, incomprensible. ¿Por qué el universo es inteligible? ¿Por qué el universo está regido por leyes que sabemos representar mediante las matemáticas? ¿Dependen las leyes del universo de nuestra historia, de nuestra cultura, del sexo del científico que las halló? ¿Es posible concebir una descripción alternativa a las leyes físicas, totalmente independiente pero tan predictiva como la que hoy en día empleamos? Todas estas preguntas se hallan implícitas en la célebre cita de Einstein en la que sugiere que lo más incomprensible es que el universo sea comprensible. Existe también un ensayo de Wigner sobre la nada razonable eficiencia de las matemáticas a la hora de describir el universo. Inteligibilidad es, sin duda, misterio.
Hay muchos puntos interesantes que me encantaría discutir. Por ejemplo, es necesario definir "inteligibilidad". Se puede dotarla de adjetivos y de objetivos. Se podría analizar el concepto de "profundidad" en diferentes niveles de comprensión de un mismo fenómeno. Reservemos este punto para otra entrada. Quisiera aquí hablar de un punto de vista (que no es mío, ni defiendo) más obscuro y poco comentado: la inteligibilidad no es más que un concepto computacional.
Desde el mundo de la computabilidad algoritmica, es Gregory Chaitin de IBM quien sugiere que la inteligibilidad se reduce a lograr un algoritmo mínimo que describa un fenómeno natural. Una buena teoría debe proporcionar la receta mínima para computar una plétora de fenómenos físicos. A más concisa sea la teoría, mayor es nuestra inteligibilidad. Este punto de vista ve con buenos ojos las leyes de Newton. Son concisas, nos permiten construir puentes, calcular trayectorias, crear edificios.
Por otra parte, la inteligibilidad entendida como la obtención de un algoritmo mínimo topa con varias paradojas. Por una parte, sabemos que el tamaño mínimo de un predicado es incalculable. Se trata de un concepto asociado a la complejidad de Kolmogorov, que es indecidible debido al teorema de Gödel. Nunca sabremos si una algoritmo es mínimo. Es indecidible. Por otra parte, es obvio que algoritmos extensos que describen un fenómeno físico pueden tener una gran capacidad de generalización. Por ejemplo, las leyes de la Relatividad General son mucho más extensas y predictivas que las de Newton. La Relatividad General nos da un algoritmo complejo, no mínimo, pero vastamente más profundo que la gravitación newtoniana porque la invariancia bajo difeomorfismos ha penetrado la teoría y la ha dotado de una estructura matemática refinadísima.
Olvidando ya a Chaitin, a veces creo que la inteligibilidad tal vez sea un concepto externo a nuestra lógica. Si es así, nada se puede decir. De lo contrario, si algo tiene sentido, apuesto a que la inteligibilidad está relacionada con la profundidad. Reservo esta discusión para otra entrada.
sábado, 29 de agosto de 2009
jueves, 14 de mayo de 2009
¿Divulgación?
Atónito, escucho y leo intentos de divulgación sobre la partícula Higgs. Es natural que el problema más importante en física de partículas elementales acapare la atención de los periodistas dedicados a la divulgación. Una pequeña fracción de estos periodistas desconocen profundamente el tema y, sin embargo, lo presentan con tanta autosificiencia como incoherencia. Una fracción aun más pequeña de ellos desbarran y mezclan sin control alguno ideas científicas con Dios, con misterios y catastrofes inimaginables. Lo verdaderamente curioso es que sea esta última -degradada- versión de la divulgación científica la que llega a una gran cadena de televisión.
Es curioso, ¿no? Son tan escasos los segundos dedicados a la ciencia en televisión que se podría imaginar que aquellas personas que tienen el pequeño privilegio de divulgar en un medio de masas deberían tener una obsesión por la veracidad, por la valoración justa de los logros obtenidos y por la presentación honesta de los objetivos que se persiguen. Pero resulta que la demanda de pasiones viscerales que supuestamente exige la televisión es una excusa suficiente para desinformar, para tergiversar, para banalizar el esfuerzo de miles de investigadores.
Lo más curioso es que nada de lo que digo es nuevo, ni especial. Hemos aprendido a convivir con la desinformación científica en los medios de masas. Pero me atrevería a decir que, en esta ocasión, algo sí era diferente. Estamos sumidos en una crisis económica. Muchos responsables políticos hablan de la necesidad de substituir una economía basada en la especulación no productiva por una economía basada en el conocimiento. Sin embargo, el mismo grupo mediático que defiende con frecuencia esta idea es el responsable del programa de desinformación científica que me ha dejado atónito. Busco una palabra para todo ello: ¿desdivulgación?, ¿antidivulgación?, ¿mediocridad? Seguro que algún lector tiene alguna sugerencia más apropiada.
Prometo no volver a escribir una entrada de tono negativo. Es inútil.
Para compensarlo, quisiera deciros que, en mi fuero interno, espero con pasión difícil de definir los resultados del LHC. Si encontramos la partícula Higgs y se confirma el Modelo Estándar, habremos logrado una cima intelectual. La teoría de las interacciones electrodébiles y fuertes formaría una construcción compleja pero precisa y consistente del mundo de las partículas elementales. Pienso en un reloj sofisticado e increíblemente exacto. Si, por el contrario, no encontramos el Higgs, nuestra teoría fallaría y debería ser modificada (por ejemplo podríamos enfrentarnos a las cotas de trivialidad de la interacción cuártica). Un engranaje del reloj no sería correcto y deberíamos comprender en qué forma debe ser substituido. Ambas opciones son realmente apasionantes. Y sabremos la solución dentro de muy poco tiempo.
Es curioso, ¿no? Son tan escasos los segundos dedicados a la ciencia en televisión que se podría imaginar que aquellas personas que tienen el pequeño privilegio de divulgar en un medio de masas deberían tener una obsesión por la veracidad, por la valoración justa de los logros obtenidos y por la presentación honesta de los objetivos que se persiguen. Pero resulta que la demanda de pasiones viscerales que supuestamente exige la televisión es una excusa suficiente para desinformar, para tergiversar, para banalizar el esfuerzo de miles de investigadores.
Lo más curioso es que nada de lo que digo es nuevo, ni especial. Hemos aprendido a convivir con la desinformación científica en los medios de masas. Pero me atrevería a decir que, en esta ocasión, algo sí era diferente. Estamos sumidos en una crisis económica. Muchos responsables políticos hablan de la necesidad de substituir una economía basada en la especulación no productiva por una economía basada en el conocimiento. Sin embargo, el mismo grupo mediático que defiende con frecuencia esta idea es el responsable del programa de desinformación científica que me ha dejado atónito. Busco una palabra para todo ello: ¿desdivulgación?, ¿antidivulgación?, ¿mediocridad? Seguro que algún lector tiene alguna sugerencia más apropiada.
Prometo no volver a escribir una entrada de tono negativo. Es inútil.
Para compensarlo, quisiera deciros que, en mi fuero interno, espero con pasión difícil de definir los resultados del LHC. Si encontramos la partícula Higgs y se confirma el Modelo Estándar, habremos logrado una cima intelectual. La teoría de las interacciones electrodébiles y fuertes formaría una construcción compleja pero precisa y consistente del mundo de las partículas elementales. Pienso en un reloj sofisticado e increíblemente exacto. Si, por el contrario, no encontramos el Higgs, nuestra teoría fallaría y debería ser modificada (por ejemplo podríamos enfrentarnos a las cotas de trivialidad de la interacción cuártica). Un engranaje del reloj no sería correcto y deberíamos comprender en qué forma debe ser substituido. Ambas opciones son realmente apasionantes. Y sabremos la solución dentro de muy poco tiempo.
miércoles, 4 de marzo de 2009
El instante de descubrir
Creo honestamente que una de las sensaciones más
especiales que puede experimentar una persona es
el instante de descubrir o comprender
profundamente un hecho. Es un instante de epifanía
difícil de transcribir en palabras llanas. La mejor
analogía que encuentro es la de sentir que un abismo
se abre y el vértigo invade la mente.
Es frecuente encontrar el relato que hacen algunos
científicos de los instantes en que percibieron
la profundidad de una idea. Por ejemplo, Einstein
habla de la comprensión del que ahora llamamos
Principio de Equivalencia, sentado en su oficina
de patentes. Heisenberg, tomando un respiro del
apabullante Bohr, dio con las ideas de Incertidumbre
en el campo danés y se fue a lo alto de una roca.
Dirac comprendió la necesidad de linealizar su
ecuación (de Dirac) mirando el chispear del fuego.
Roetgen entró en un estado de exaltación enloquecida
de la que hacía partícipe a su esposa. Todos son
ejemplos de instantes mágicos, diferentes de la
abstracción que normalmente caracteriza a un científico.
No es introspección, si no exaltación.
Invito a cualquiera que lea estas líneas y sepa de
relatos curiosos similares a éstos a que los comparta con todos nosotros.
especiales que puede experimentar una persona es
el instante de descubrir o comprender
profundamente un hecho. Es un instante de epifanía
difícil de transcribir en palabras llanas. La mejor
analogía que encuentro es la de sentir que un abismo
se abre y el vértigo invade la mente.
Es frecuente encontrar el relato que hacen algunos
científicos de los instantes en que percibieron
la profundidad de una idea. Por ejemplo, Einstein
habla de la comprensión del que ahora llamamos
Principio de Equivalencia, sentado en su oficina
de patentes. Heisenberg, tomando un respiro del
apabullante Bohr, dio con las ideas de Incertidumbre
en el campo danés y se fue a lo alto de una roca.
Dirac comprendió la necesidad de linealizar su
ecuación (de Dirac) mirando el chispear del fuego.
Roetgen entró en un estado de exaltación enloquecida
de la que hacía partícipe a su esposa. Todos son
ejemplos de instantes mágicos, diferentes de la
abstracción que normalmente caracteriza a un científico.
No es introspección, si no exaltación.
Invito a cualquiera que lea estas líneas y sepa de
relatos curiosos similares a éstos a que los comparta con todos nosotros.
viernes, 2 de enero de 2009
Música y Ciencia
La música proporciona una analogía para la ciencia que siempre deseo compartir y debatir con mis amigos.
El músico logra, a veces, construir una composición impregnada de belleza. Es intangible, indefinible, es desconocido el camino que le ha llevado a ella. Pero el resultado es manifiesto:
todos podemos disfrutar de su música. El músico puede entonces transcribir en papel su música empleando una notación específica. Tal vez, dentro de siglos, el lenguaje musical escrito sea diferente. La partitura tendrá una notación diferente, pero la música será la misma. La transcripción musical es un artificio, pero un artificio importante porque el músico debe dominarlo hasta su último detalle. La partitura representa la música, la transmite, la hace asimilable y reproducible. Sin embargo, la emoción contenida en esa música es independiente de su transcripción.
La ciencia intenta comprender las leyes que rigen el universo y transcribirlas en forma de ecuaciones. Estas ecuaciones son el artificio necesario para comunicar nuestro descubrimiento, para predecir nuevos fenómenos, para asentar nuestro progreso. En algunas ocasiones las ecuaciones, como la partitura, guían en parte la investigación de cada uno de nosotros. Pero los grandes principios, las ideas más profundas tienen una entidad propia que va mucho más allá de su representación escrita. Podemos imaginar mundos inteligentes con conocimientos científicos basados en sistemas diferentes a la nuestra notación matemática. Sin embargo, ambos sistemas coincidirán en identificar y comprender la atracción de las masas, la creación de partículas, los límites a la velocidad de éstas.
La ciencia es independiente del lenguaje en que se exprese, a pesar de que debe necesariamente ser expresada en un lenguaje concreto.
El músico logra, a veces, construir una composición impregnada de belleza. Es intangible, indefinible, es desconocido el camino que le ha llevado a ella. Pero el resultado es manifiesto:
todos podemos disfrutar de su música. El músico puede entonces transcribir en papel su música empleando una notación específica. Tal vez, dentro de siglos, el lenguaje musical escrito sea diferente. La partitura tendrá una notación diferente, pero la música será la misma. La transcripción musical es un artificio, pero un artificio importante porque el músico debe dominarlo hasta su último detalle. La partitura representa la música, la transmite, la hace asimilable y reproducible. Sin embargo, la emoción contenida en esa música es independiente de su transcripción.
La ciencia intenta comprender las leyes que rigen el universo y transcribirlas en forma de ecuaciones. Estas ecuaciones son el artificio necesario para comunicar nuestro descubrimiento, para predecir nuevos fenómenos, para asentar nuestro progreso. En algunas ocasiones las ecuaciones, como la partitura, guían en parte la investigación de cada uno de nosotros. Pero los grandes principios, las ideas más profundas tienen una entidad propia que va mucho más allá de su representación escrita. Podemos imaginar mundos inteligentes con conocimientos científicos basados en sistemas diferentes a la nuestra notación matemática. Sin embargo, ambos sistemas coincidirán en identificar y comprender la atracción de las masas, la creación de partículas, los límites a la velocidad de éstas.
La ciencia es independiente del lenguaje en que se exprese, a pesar de que debe necesariamente ser expresada en un lenguaje concreto.
domingo, 23 de noviembre de 2008
Einstein y belleza
Quisera recuperar una célebre cita de Albert Einstein. Pero antes desearía recordar en qué contexto se enmarca. Estados Unidos se hallaba en una profunda crisis de valores durante los años cincuenta. Un programa de radio intento modestamente levantar el ánimo de los ciudadanos con una fórmula sencilla. Grandes personajes públicos y gentes corrientes se situaban frente a un micrófono radiofónico y leían durante tres minutos un texto en el que se sinceraban. Decían abiertamente en qué creían, qué movía sus vidas, por qué luchaban cada día, cuáles eran sus anhelos y sus esperanzas. El programa llamado "This I belive" fue un enorme éxito que ahora se intenta recuperar (http://thisibelieve.org).
Entre muchos otros, Einstein aportó su grano de arena. La primera frase de su aportación es la siguiente:
The most beautiful thing we can experience is the mysterious—the knowledge of the existence of something unfathomable to us, the manifestation of the most profound reason coupled with the most brilliant beauty.
(Lo más bello que podemos experimentar es el misterio - el saber de la existencia de algo inimaginable, la manifestación de la razón más profunda con la belleza más brillante.)
En esta frase, Einstein incide dos veces en la idea de belleza, siempre asociada al misterio, al asombro del saber. Dice S. Weinberg que muchos científicos hablan de la belleza de su disciplina de una forma vaga, indefinida. ¿Qué es belleza? ¿Por qué una demostración es bella? ¿Por qué Dirac defendía que una ecuación, ante todo, debía ser bella? Weinberg sugiere que la belleza referida por los científicos se asemeja a la belleza que ve un cuidador de caballos en un hermoso ejemplar. Es una belleza subjetiva, asociada al profundo conocimiento de un oficio. Es la belleza de la factura perfecta, es el reconocimiento de una armonía indiscutible para el ojo educado.
Sin embargo, creo que Einstein utiliza la palabra belleza en un sentido múltiple. Su belleza halla su cúspide en el misterio, en la intuición de una armonía inimaginable. La belleza de su relatividad, decía, radicaba en su fragilidad (o inexorable completitud): bastaba que un elemento fuera incorrecto para rebatir toda su teoría. La belleza como asombro aparece repetidamente en sus escritos.
La visita a las páginas de "This I believe" está poblada de bellas ideas. No os lo perdáis.
Entre muchos otros, Einstein aportó su grano de arena. La primera frase de su aportación es la siguiente:
The most beautiful thing we can experience is the mysterious—the knowledge of the existence of something unfathomable to us, the manifestation of the most profound reason coupled with the most brilliant beauty.
(Lo más bello que podemos experimentar es el misterio - el saber de la existencia de algo inimaginable, la manifestación de la razón más profunda con la belleza más brillante.)
En esta frase, Einstein incide dos veces en la idea de belleza, siempre asociada al misterio, al asombro del saber. Dice S. Weinberg que muchos científicos hablan de la belleza de su disciplina de una forma vaga, indefinida. ¿Qué es belleza? ¿Por qué una demostración es bella? ¿Por qué Dirac defendía que una ecuación, ante todo, debía ser bella? Weinberg sugiere que la belleza referida por los científicos se asemeja a la belleza que ve un cuidador de caballos en un hermoso ejemplar. Es una belleza subjetiva, asociada al profundo conocimiento de un oficio. Es la belleza de la factura perfecta, es el reconocimiento de una armonía indiscutible para el ojo educado.
Sin embargo, creo que Einstein utiliza la palabra belleza en un sentido múltiple. Su belleza halla su cúspide en el misterio, en la intuición de una armonía inimaginable. La belleza de su relatividad, decía, radicaba en su fragilidad (o inexorable completitud): bastaba que un elemento fuera incorrecto para rebatir toda su teoría. La belleza como asombro aparece repetidamente en sus escritos.
La visita a las páginas de "This I believe" está poblada de bellas ideas. No os lo perdáis.
domingo, 5 de octubre de 2008
El límite clásico de la función de onda cuántica
Una forma de entender que la función de onda de la Mecánica Cuántica no tiene un límite clásico es tomar ħ igual a 0 de forma naive en la ecuación de Schrödinger. De inmediato se observa una contradicción dado que el término cinético desaparece frente al potencial. Esto implica que la función de onda no tiene una expansión en potencias de ħ alrededor de una función clásica.
Para ser un poco más concretos, tomemos la ecuación de Schrödinger para el caso de los estados estacionarios de una partícula un potencial V(x). La ecuación de Schrödinger se reduce a H ψ = E ψ, donde el Hamiltoniano H=H_0+H_i tiene dos términos: uno describe la energía cinética de la partícula H_0=-ħ^2/(2m) d^2/dx^2 y otro su interacción con el potencial H_i=V(x). De forma naive parece que tomar ħ=0 equivale a suprimir el término cinético. De ahí se deduce que V(x) ψ = E ψ, es decir, V(x)=E lo cuál es imposible puesto que cualquier potencial que dependa de x no es igual a una constante E.
La forma correcta de tomar un límite semi-clásico de la función de onda es lo que recibe el nombre de aproximación WKB. La idea central es comprender que la función de onda presenta una singularidad esencial cuando ħ tiende a 0. Es decir, ψ(x)~A(x) e^(i B(x)/ ħ), donde A(x) y B(x) sí tienen expansiones en ħ alrededor de valores clásicos. Pero la singularidad en la exponencial hace imposible tomar un límite naive. Esta aproximación permite de forma sencilla permite estimar fenómenos tan sutiles como el efecto túnel.
La obstrucción a tener un límite clásico para la función de onda implica que no existe una descripción clásica de la información de un sistema equivalente al paradigma cuántico. Si eso fuera así, tendríamos una mecánica cuántica-clásica, profundamente diferente de los conceptos newtonianos. Las ideas de superposición y de entrelazamiento cuánticos quedan pues consistentemente resguardadas por estos límites singulares.
Para ser un poco más concretos, tomemos la ecuación de Schrödinger para el caso de los estados estacionarios de una partícula un potencial V(x). La ecuación de Schrödinger se reduce a H ψ = E ψ, donde el Hamiltoniano H=H_0+H_i tiene dos términos: uno describe la energía cinética de la partícula H_0=-ħ^2/(2m) d^2/dx^2 y otro su interacción con el potencial H_i=V(x). De forma naive parece que tomar ħ=0 equivale a suprimir el término cinético. De ahí se deduce que V(x) ψ = E ψ, es decir, V(x)=E lo cuál es imposible puesto que cualquier potencial que dependa de x no es igual a una constante E.
La forma correcta de tomar un límite semi-clásico de la función de onda es lo que recibe el nombre de aproximación WKB. La idea central es comprender que la función de onda presenta una singularidad esencial cuando ħ tiende a 0. Es decir, ψ(x)~A(x) e^(i B(x)/ ħ), donde A(x) y B(x) sí tienen expansiones en ħ alrededor de valores clásicos. Pero la singularidad en la exponencial hace imposible tomar un límite naive. Esta aproximación permite de forma sencilla permite estimar fenómenos tan sutiles como el efecto túnel.
La obstrucción a tener un límite clásico para la función de onda implica que no existe una descripción clásica de la información de un sistema equivalente al paradigma cuántico. Si eso fuera así, tendríamos una mecánica cuántica-clásica, profundamente diferente de los conceptos newtonianos. Las ideas de superposición y de entrelazamiento cuánticos quedan pues consistentemente resguardadas por estos límites singulares.
domingo, 7 de septiembre de 2008
La estadística de las guerras y problemas NP-completos
En numerosas ocasiones he recibido preguntas sobre recomendaciones concretas de libros de divulgación. Unos lectores buscan una presentación asequible a los temas de investigación que son la punta de lanza de la ciencia actual. Otros prefieren leer la opinión de los científicos, quieren conocer su forma de trabajar y enaltecen el aspecto humano de la creación del conocimiento. También es frecuente interesarse por una puesta a punto de todo un campo y, de esta manera, tomar una visión sólida de temas que aparecen de forma fugaz en los periódicos. La divulgación científica es un gran saco lleno de golosinas que no colman a la mayoría. Por eso es frecuente y cómodo evitar dar recomendaciones.
Esta vez quisiera tomar partido de forma positiva y sugerir la lectura de un libro reciente: "Group theory in the bedroom", de Brian Hayes y editado por Hill and Wang (2008). Me atrevo a recomendar este conjunto de artículos porque cada pieza que lo compone destila una innata elegancia en la forma de presentar temas abstractos y avanzar de forma amena a un conocimiento concreto y claro. Es un libro con oficio, entretenido, científicamente sólido y a la vez asequible.
Entresaco un par de artículos de todo el libro. Uno de ellos está dedicado a las aportaciones de Lewis Fry Richardson, pionero en el estudio cuantitativo de las guerras. Richardson compiló el primer catálogo de guerras, neutro y objetivo, para poder analizar sus características genéricas y, si fuera posible, su predicción. Los centenares de conflictos bélicos se clasifican por su intensidad en una escala logarítmica de muertes. Este tétrico análisis no deja de ser inquietante. Las guerras aparecen siguiendo distribuciones de Poisson, no muestran correlaciones con la afinidad de la lengua de los contendientes, ni con su nivel armamentístico. Las guerras se correlacionan levemente con la religión y fuertemente con disputas entre países vecinos. Un sobrio artículo, digno de ser conocido más allá del ámbito de este blog.
Un segundo artículo que quisiera recomendar es el que trata los problemas NP-completos y transiciones de fase. Es un hecho notable que ideas que aparecen en física se plasmen en terrenos aparentemente alejados como es el de la complejidad computacional. Para ser más concretos, consideremos el problema de particiones. Disponemos de un conjunto de N números. Cada número puede escribirse en notación binaria empleando M dígitos 0 o 1. Deseamos separarlos en dos conjuntos de forma que la suma de los que forman el primer conjunto es idéntica a la suma de los que forman el segundo. En muchísimos casos es muy sencillo hallar un reparto que verifique este requisito. En otros casos es casi imposible. El problema es computacionalmente duro cuando existe una única solución. La sorpresa es que la transición entre casos sencillos a duros se da de forma abrupta como función de los M/N. La analogía con una transición de fase (como la del agua al hervir) es inmediata y ha sido extensamente estudiada en los últimos años. Matemáticas, Física, Teoría de la computación se dan la mano. He escogido este ejemplo de artículo porque una parte de la comunidad de Información Cuántica lucha por aportar ideas del mundo cuántico a la teoría de la computación clásica. Tal vez un ordenador cuántico cambie nuestros conceptos de un campo tan interdisciplinar y en constante evolución.
Todo ello y otros temas tan curiosos como la construcción de relojes o la caracterización de la divisoria de aguas en un continente son tratados por Hayes con el buen oficio de la divulgación científica de calidad.
Esta vez quisiera tomar partido de forma positiva y sugerir la lectura de un libro reciente: "Group theory in the bedroom", de Brian Hayes y editado por Hill and Wang (2008). Me atrevo a recomendar este conjunto de artículos porque cada pieza que lo compone destila una innata elegancia en la forma de presentar temas abstractos y avanzar de forma amena a un conocimiento concreto y claro. Es un libro con oficio, entretenido, científicamente sólido y a la vez asequible.
Entresaco un par de artículos de todo el libro. Uno de ellos está dedicado a las aportaciones de Lewis Fry Richardson, pionero en el estudio cuantitativo de las guerras. Richardson compiló el primer catálogo de guerras, neutro y objetivo, para poder analizar sus características genéricas y, si fuera posible, su predicción. Los centenares de conflictos bélicos se clasifican por su intensidad en una escala logarítmica de muertes. Este tétrico análisis no deja de ser inquietante. Las guerras aparecen siguiendo distribuciones de Poisson, no muestran correlaciones con la afinidad de la lengua de los contendientes, ni con su nivel armamentístico. Las guerras se correlacionan levemente con la religión y fuertemente con disputas entre países vecinos. Un sobrio artículo, digno de ser conocido más allá del ámbito de este blog.
Un segundo artículo que quisiera recomendar es el que trata los problemas NP-completos y transiciones de fase. Es un hecho notable que ideas que aparecen en física se plasmen en terrenos aparentemente alejados como es el de la complejidad computacional. Para ser más concretos, consideremos el problema de particiones. Disponemos de un conjunto de N números. Cada número puede escribirse en notación binaria empleando M dígitos 0 o 1. Deseamos separarlos en dos conjuntos de forma que la suma de los que forman el primer conjunto es idéntica a la suma de los que forman el segundo. En muchísimos casos es muy sencillo hallar un reparto que verifique este requisito. En otros casos es casi imposible. El problema es computacionalmente duro cuando existe una única solución. La sorpresa es que la transición entre casos sencillos a duros se da de forma abrupta como función de los M/N. La analogía con una transición de fase (como la del agua al hervir) es inmediata y ha sido extensamente estudiada en los últimos años. Matemáticas, Física, Teoría de la computación se dan la mano. He escogido este ejemplo de artículo porque una parte de la comunidad de Información Cuántica lucha por aportar ideas del mundo cuántico a la teoría de la computación clásica. Tal vez un ordenador cuántico cambie nuestros conceptos de un campo tan interdisciplinar y en constante evolución.
Todo ello y otros temas tan curiosos como la construcción de relojes o la caracterización de la divisoria de aguas en un continente son tratados por Hayes con el buen oficio de la divulgación científica de calidad.
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